Matematika smeri polja

Smerno polje, način grafičnega predstavljanja rešitev diferencialne enačbe prvega reda, ne da bi bila enačba dejansko rešena. Enačba y ′ = f (x, y) daje smer, y ′, povezano z vsako točko (x, y) v ravnini, ki jo mora izpolnjevati katera koli krivulja raztopine, ki poteka skozi to točko. Polje smeri je opredeljeno kot zbirka majhnih odsekov črt, ki potekajo skozi različne točke z naklonom, ki bo v tej točki zadostilo dani diferencialni enačbi (glej graf). Dejanska družina krivulj (rešitve diferencialne enačbe) mora imeti v vsaki točki smer, ki se ujema s smerjo odseka premca smeri polja v tej točki,tako da je ta metoda dragocena za pridobivanje občutka za obnašanje rešitev v primerih, ko je enačbo težko rešiti ali v kateri je rešitev zapletena funkcija. Pri risanju smernega polja je pogosto koristno določiti črte ali krivulje, imenovane izokline, na katerih je naklon odsekov smernega polja stalen. Na primer, v enačbi y ′ = x + y bo naklon imel konstantno vrednost k, ko je k = x + y, ali kadar je y = -x + k; to je, izokline so ravne črte z naklonom -1. Te vrstice lahko nato rahlo skiciramo, da pomagajo pri gradnji smeri polja (glej graf). Dejanska družina rešitev v tem primeru je y = aena katerem je naklon odsekov smernega polja stalen. Na primer, v enačbi y ′ = x + y bo naklon imel konstantno vrednost k, ko je k = x + y, ali kadar je y = -x + k; to je, izokline so ravne črte z naklonom -1. Te vrstice lahko nato rahlo skiciramo, da pomagajo pri gradnji smeri polja (glej graf). Dejanska družina rešitev v tem primeru je y = aena katerem je naklon odsekov smernega polja stalen. Na primer, v enačbi y ′ = x + y bo naklon imel konstantno vrednost k, ko je k = x + y, ali kadar je y = -x + k; to je, izokline so ravne črte z naklonom -1. Te vrstice lahko nato rahlo skiciramo, da pomagajo pri gradnji smeri polja (glej graf). Dejanska družina rešitev v tem primeru je y = ae^x - x - 1 za katero koli konstanto a, ki jo ugotovimo z metodami diferencialnih enačb.