Sodobna matematika algebre

Prstani

Prstani v teoriji števil

V drugi smeri je pomemben napredek teorije števil nemških matematikov, kot so Ernst Kummer, Richard Dedekind in Leopold Kronecker, uporabil obroče algebričnih celih števil. (Algebrsko celo število je kompleksno število, ki izpolnjuje algebrsko enačbo oblike x ⁿ + a ₁ x ^{n − 1} +

+ a _n = 0, kjer so koeficienti a ₁,

, _n so cela števila.) Njihovo delo je v takšnih obročih vneslo pomemben koncept ideala, ki bi ga lahko predstavljali "idealni elementi" zunaj zadevnega obroča. V poznem 19. stoletju je nemški matematik David Hilbert uporabil ideale za reševanje starega problema o polinomih (algebrični izrazi z uporabo številnih spremenljivk x ₁, x ₂, x ₃,

). Težava je bila v tem, da vzamemo končno število spremenljivk in se odločimo, katere ideale lahko ustvari največ končno veliko polinoma. Hilbertova metoda je težavo rešila in zaključila nadaljnje preiskave, saj je pokazala, da imajo vsi to lastnost. Njegov abstraktni pristop "odmaknjen od rok" je nemškega matematika Paula Gordona vzkliknil "Das ist nicht Mathematik, das ist Theologie!" ("To ni matematika, to je teologija!"). Moč sodobne algebre je prispela.

Obroki lahko nastanejo naravno pri reševanju matematičnih problemov, kot je prikazano v naslednjem primeru: Katera cela števila lahko zapišemo kot vsoto dveh kvadratov? Z drugimi besedami, kdaj lahko celo število n zapišemo kot ² + b ² ? Za rešitev te težave je koristno faktor n prešteti v osnovne faktorje, koristen pa je tudi faktor a ² + b ² kot (a + bi) (a - bi), kjer je i ² = −1. Vprašanje je potem mogoče ponovno opredeliti s števili a + bi, kjer sta a in b cela števila. Ta niz številk tvori obroč in z upoštevanjem faktorizacije v tem obroču je mogoče rešiti izvirno težavo. Tovrstni prstani so v teoriji števil zelo uporabni.

Obroči v algebrski geometriji

Prstani se v algebrski geometriji zelo pogosto uporabljajo. Razmislimo o krivulji v ravnini, podani z enačbo v dveh spremenljivkah, kot sta y ² = x ³ + 1. Krivulja, prikazana na sliki, je sestavljena iz vseh točk (x, y), ki ustrezajo enačbi. Na primer, (2, 3) in (−1, 0) sta točki na krivulji. Vsaka algebrska funkcija v dveh spremenljivkah dodeli vrednost vsaki točki krivulje. Na primer, xy + 2x dodeli vrednost 10 točki (2, 3) in −2 točki (−1, 0). Takšne funkcije lahko dodajamo in množimo skupaj in tvorijo obroč, s pomočjo katerega lahko preučimo izvirno krivuljo. Funkcije, kot sta y ² in x ³ + 1, ki se med seboj strinjata v vsaki točki krivulje, se obravnavata kot enaka funkcija, kar omogoča, da se krivulja povrne iz obroča. Geometrijske težave lahko torej spremenimo v algebrske težave, jih rešimo s tehnikami sodobne algebre in jih nato spremenimo nazaj v geometrijske rezultate.

Razvoj teh metod za preučevanje algebarske geometrije je bil eden največjih napredkov matematike v 20. stoletju. Pionirsko delo v tej smeri sta v Franciji opravila matematika André Weil v petdesetih in Alexandre Grothendieck v 60. letih.

Teorija skupin

Sodobna algebra ima poleg razvoja teorije števil in algebrske geometrije pomembne aplikacije za simetrijo s pomočjo teorije skupin. Besedna skupina se pogosto nanaša na skupino operacij, po možnosti ohranja simetrijo nekega predmeta ali razporeditev podobnih predmetov. V zadnjem primeru se operacije imenujejo permutacije in en pogovor skupine permutacij ali preprosto permutacijska skupina. Če sta α in β operaciji, je njihov sestavljen (α, ki mu sledi β) običajno napisan αβ, njihov sestavljen pa v nasprotnem vrstnem redu (β, ki mu sledi α), zapisan βα. Na splošno αβ in βα nista enaki. Skupino lahko določimo tudi aksiomatično kot množitev z množenjem, ki izpolnjuje aksiome za zapiranje, asociativnost, identitetni element in inverse (aksiomi 1, 6, 9 in 10). V posebnem primeru, ko sta αβ in βα enaka za vse α in β, se skupina imenuje komutativna ali abelovska; pri takih abelovskih skupinah se včasih napišejo operacije α + β namesto αβ, pri čemer se namesto množenja uporabi dodajanje.

Francoski matematik Évariste Galois (1811–32) je najprej uporabil teorijo skupin za rešitev starega problema algebrskih enačb. Vprašati se je bilo treba, ali je mogoče določiti enačbo rešiti s pomočjo radikalov (kar pomeni kvadratne korenine, kocke korenin ipd., Skupaj z običajnimi aritmetičnimi operacijami). S pomočjo skupine vseh "dopustnih" permutacij raztopin, ki jih danes poznamo kot Galoisova enačba, je Galois pokazal, ali je mogoče rešitve izraziti v smislu radikalov ali ne. Njegova skupina je bila prva pomembna uporaba in je bil prvi, ki je izraz uporabil v njegovem sodobnem tehničnem pomenu. Bilo je veliko let, preden je bilo njegovo delo v celoti razumljeno, deloma zaradi zelo inovativnega značaja in deloma zato, ker mu ni bilo blizu, da bi razložil svoje ideje - pri 20 letih je bil smrtno ranjen v dvoboju. Predmet je zdaj znan kot Galoisova teorija.

Teorija skupin se je razvila najprej v Franciji in nato v drugih evropskih državah v drugi polovici 19. stoletja. Ena zgodnja in bistvena ideja je bila, da bi se lahko veliko skupin, zlasti vseh končnih skupin, v bistveno edinstven način razpadlo na enostavnejše skupine. Teh enostavnejših skupin ni bilo mogoče razgraditi naprej, zato so jih poimenovali "preprosti", čeprav jih pomanjkanje nadaljnje razgradnje pogosto naredi precej zapleteno. To je bolj kot razkrajanje celega števila v produkt preprostih števil ali molekula v atome.

Leta 1963 je mejnik, ki sta ga napisala ameriška matematika Walter Feit in John Thompson, pokazal, da če končno preprosta skupina ni zgolj skupina rotacij navadnega mnogokotnika, potem mora imeti celo število elementov. Ta rezultat je bil neizmerno pomemben, saj je pokazal, da morajo imeti take skupine nekaj elementov x, da je x ² = 1. Uporaba takšnih elementov je matematikom omogočila, da se opirajo na strukturo celotne skupine. Dokument je privedel do ambicioznega programa za iskanje vseh omejenih preprostih skupin, ki je bil končan v začetku osemdesetih let. Vključevalo je odkritje več novih preprostih skupin, od katerih ena, "Monster", ne more delovati v manj kot 196.883 dimenzijah. Pošast še danes stoji kot izziv zaradi svojih intrigantnih povezav z drugimi deli matematike.